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关于浙江队内部会议纪要流出：清晨强势反弹，CBA常规赛使命明确，身体对抗强度拉满的信息-爱游戏

Fri, 29 May 2026 16:05:07 +0800

李群广州军区队，巩晓彬山东队，郑武浙江队全明 CBA与KBL联合举办中韩全明星对抗赛除了赛制赛程方面的改革外。

新赛季CBA联赛将分阶段进行，其中常规赛第一阶段确定采取赛会揭幕战将于10月17日举行，由上赛季总冠军广东东莞对阵浙江稠州。

又在上方与两侧增加了霸气又硕大的球队名字，视觉效果拉满单赛季22场常规赛+季后赛全胜，最终一举夺得了CBA联赛历史上。

4月12日的CBA季后赛附加赛结束，浙江东阳光111比96战胜山西他们在第二节强势反弹，半场结束时将比分追至52比52平局第三。

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Thu, 28 May 2026 23:20:02 +0800

　　专家：狐姐姐，婚恋咨询师。有胸，不凶；有腰，不妖；有脑，不恼；有证，不挣。爱美、爱财、爱美男。

　　母亲就是子女对生养自己的女子的称谓。俗称妈妈。英文解释为：

　　英语：mother 口语为 mom

　　M （many）妈妈给了我很多很多

　　O （old）妈妈为我操心，白发已爬上了您的头

　　T （tears）您为我流过不少泪

　　H （heart）您有一颗慈祥温暖的心

　　E （eyes）您注视我的目光总是充满着爱

　　R （right）您从不欺骗我们，教导我们去做正确的事情

　　以上是某搜索页面展示的母亲的释义。是不是看起来很官方？是不是看起来像在无情的描述有情的人？是不是觉得现实的生活其实并非完全如此？

　　妈妈说：“女人要早点把自己嫁出去”

　　可她没告诉你，越是年轻时遇到的男人，越容易犯混。

　　妈妈说：“女人要纯洁，要保留处女之身”

　　可她没告诉你，有处女情结的男人专害她人，有处女情结的女人专害自己。婚后遇到性无能带来的痛苦 > 婚前寻草问鲜肉带来的高潮愉悦

　　妈妈说：“女人一定要生孩子，有了孩子，男人就老实了”

　　可她没告诉你，带孩子是需要夫妻双方协作的，不老实的男人不仅不会因为有了孩子变老实，反而会因为你忙于工作和孩子无暇顾及他，变得更猖狂, 胆子肥的会和别人也生孩子，和别人在外面协作带他们生的孩子。

　　妈妈说：“男人没一个好东西”

　　可她没告诉你，任何给女儿传递这种负能量的母亲也都不是什么好东西。

　　妈妈说：“男人玩累了就会回家”

　　可她没告诉你，爱玩的男人永远不会玩累，回家是为了能体面的进入坟墓。

　　妈妈说：“女人要学会对男人忍让，低头”

　　可她没告诉你，男人最欣赏的就是敢和他们拍桌子，敢不把他们放在眼里的女人。

　　妈妈说：“不要对你婆婆那么好，她又不是你亲妈”

　　可她没告诉你，天下的婆婆并不是一般黑。和婆婆搞好关系，直接影响你的生活质量，如果你是和婆婆住在一起，严重点还会影响你的性生活质量。

　　妈妈说：“女人要照顾好男人的饮食起居”

　　可她没告诉你，让一个男人感受到幸福的最好办法，就是要他操心你。古今多少例子证明，一个女人如果对一个男人过分体贴入微，最后都会产生买包砒霜砒死他的心理。（此条的主要用意是为了警告患了大男子主义癌的男同胞们，不要高兴的太早。）

　　妈妈说：“女人要正经，不能风骚轻浮”

　　可她没告诉你，大多女人的内心深处都有成为妖精的渴望，男人的内心（还不到深处）都有X爽妖精的渴望。

　　妈妈说：“男人有钱就变坏”

　　可她没告诉你，坏男人没钱也坏，所谓的有钱变坏是因为他可以承担和别人滚了之后让你滚的后果。

　　妈妈说：“女人要从一而终”

　　可她没告诉你，民政局除了办结婚，还可以办离婚。

　　妈妈说：“女人一旦离婚，就找不到好男人了”

　　可她没告诉你，20出头你没结婚时找到的那个男人，也不是什么好男人，不然你为什么要离呢？

　　妈妈说：“女人生来不如男人”

　　可她没告诉你，女人都生得出男人。

　　高知会成为母亲，文盲会成为母亲，艺术家会成为母亲，农妇会成为母亲，高EQ会成为母亲，苦情女会成为母亲，运动员会成为母亲，神经病会成为母亲，高智商会成为母亲，傻X会成为母亲。她的伟大是赋予你生命，养育你成人，可她所教却可能会让你痛苦，让你怀疑人生。但也正是这种爱错，给了你机会探索自我，重塑自己。

　　母亲的心是好的，但她的话不一定都是对的。她的观点会渗透到你的血液里。母亲幸福，女儿大多不会过的太差，母亲苦逼，女儿要想过的幸福，会付出更多代价。

　　为什么道理摆在你的床头陪你入眠，为什么鸡汤喝了一盆又一盆，却仍然过不好这一生？也许你是在重复别人的痛苦，而那个人很可能就是你的母亲。

　　敏锐的感受生活，用疼痛换取醒悟，用教训换取脱胎换骨。听妈妈的话，去验证你自己的人生。这不正是它的美好所在吗？你说呢！

　　解答男女生活事，分享两性健康文，请关注公众号：nnjkgw（男女健康顾问）

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Thu, 28 May 2026 06:35:11 +0800

很高兴回答你的问题，根据你题目的要求bd，中间缺少两个字母，翻译为一种动物的话，简单的一个应该是bird，鸟，希望我的回答对你有帮助。

B聲`H0在巄媄9瘘憩h"嗚缺?蜉?Q?2摭鬟緙f的简单介绍" alt="b_D怇?鰼?岦?S謎???Yi_巠閪m匿iW?I歪欃紺幦鎕窰袀E箚嘪@9幦胃y8鼷籛峡p~嶙w_苳f谥渶搧Lq鎢f褭碢r膳q鹇椤?3;?甕鳬卂H下?竽V>B聲`H0在巄媄9瘘憩h"嗚缺?蜉?Q?2摭鬟緙f的简单介绍">

bad， bed， bird， board， broad， beard，blend， beloved，blind， build，bad， bed， bid，bidbirdbedbad。

一bird的读音英b#604d 美b#604rd二释义 n 鸟，禽 lt俚少女，姑娘，人，家伙，东西 lt口飞机，火箭，导弹vi 观察和辨认鸟捕鸟，打鸟三例句 When the bird lifts off into flight， its wings unfold to an impressive sixfoot span这种鸟起。

电动自行车把手上的B和D标识，核心区别在于功能分工B多用于减速刹车相关控制，D通常对应动力模式或前进挡1 功能用途差异bullB标识常见功能是“Boost加速”或“Brake刹车能量回收”例如雅迪部分车型的B键短按启动刹车动能回收，长按可开启临时加速bullD标识多数指向“。

1观察形状b的上半部分是一条直线，下半部分是一个弯曲的弧线而d的上半部分是一个弯曲的弧线，下半部分是一条直线2想象单词可以将字母b和d想象成单词“bat”和“dog”在“bat”中，字母b代表蝙蝠的翅膀在“dog”中，字母d代表狗的身体这样，可以通过关联单词的意义来区分这两个。

BD实验全称布维狄克试验BowieDictest，是用于检测预真空压力蒸汽灭菌器的冷空气的排除效果的试验，作为考核预真空压力蒸汽灭菌器是否可以正常工作的重要检测手段BD实验需要使用 BD试纸，BD试纸BD 试验测试图是专用于测试预真空或脉动真空压力蒸汽灭菌器内或物品包内冷空气是否彻底排出。

不是先比较这两个“bd”，“mn”，“ft”，“li”这四组拼音有什么相同和不同，然后再写几遍出自小学一年级语文试卷“比一比”意思是反复对比两者的相同和不同之处如在反复阅读完 i 和 yi 后，对比一下不同之处或是相同之处，可发现对比出来 i 和 yi 的读音。

bud的意思是n芽花蕾vi发芽萌芽vt使发芽bud的意思是n芽花蕾vi发芽萌芽vt使发芽bud名词budder过去式budded过去分词budded现在分词budding第三人称单数budsbud的读音是英b_d美b_d一详尽释义点此查看bud的详细内容n名词芽，叶芽花蕾。

1在学习汉语拼音的过程中有很多相似的声母，bdpq它们四个就是很典型的声母不过，掌握了它们的顺口溜可以方便记忆和学习2具体方法右下半圆是b，右上半圆是p，左下半圆是d，左上半圆是q女孩听广播bbb，举起上坡ppp，鼓锤鼓面ddd，气球上天q3这些都是根据每个声母中的半圆的。

d“的”b“波”p“泼”q“七”，可以利用儿歌配形体动作教孩子区别可以利用儿歌配形体动作教孩子区别，把自己的身体当作“1”，左手和手臂弯曲成“C”形，接着把弯曲的手臂向下，让手指挨到臂部，形成字母d“的”，口中念“左下半圆ddd”向上举起，使手指挨到头部，这时你的体形就是字母q。

关于国际比赛日瓦伦西亚调整名单以备社区盾；远射贴柱环节打磨；管理层满意；更衣室氛围转暖的信息-AYX SPORTS

Wed, 27 May 2026 13:50:21 +0800

1、2023年12月16日力争缩短积分差距巴萨做客瓦伦西亚，近期状态不佳，此役能否扭转颓势以下是具体比赛时间和看近两场比赛先输赫罗纳，周中欧冠没有做出较大幅度的调。

2、北京时间12月19日西甲，西班牙人主场对阵瓦伦西亚西班牙人上一场以00战平奥萨苏纳瓦伦西亚上一场以01不敌巴拉多利德本场比赛一触即发，来看看西班牙人vs瓦伦西亚首发。

O?Lx?b.糱O?釶褸鈆#Y?!?.貟P綄猨瑾^a?鵨稏-箅?鹒蠇规B5气蘅Cf藇嘀?涙??闔朂?骷瞆@i?.樨铷:呸(銸魇媾偦鈮标记)-爱游戏

Tue, 26 May 2026 21:05:19 +0800

　　来源：中央美术学院城市设计学院

　　展览地点：中央美术学院7号楼4层

　　（温馨提示：以下18部短片排序不分先后，均附有视频链接）

　　《扶桑》

　　2018年

　　导演: 王曦莹

　　题材: 艺术短片

　　材料: 定格动画/超轻粘土

　　片长: 1分51秒

　　又名: A large mulberry

　　指导老师：舒霄/尹刚/程楠/周冠洋

　　作品梗概：本片改编自黑泽明电影《梦》中的一个片段，通过梵高进入黑泽明的世界来用梵高的视角表现黑泽明对生命态度的看法，当梵高看到黑泽明原来也是在自己的画中行走，于是更加坚定的想要追上黑泽明。天才是孤独的，如果能够通过某种方式遇到了能够心心相惜的人，可能对梵高来说会感到一丝欣慰。

　　视频链接：https://v.qq.com/x/page/n0670o9uy1y.html?ptag=qqbrowser

　　《鸟瞰》

　　2018年

　　导演: 杨悦

　　题材: 实验动画

　　片长: 4分35秒

　　指导老师：舒霄/尹刚/程楠/周冠洋

　　作品梗概：监控在我们生活中随处可见，在创作中选取鸟作为监控的载体，以鸟的视角展开我对于监控的思考。

　　链接：https://v.qq.com/x/page/k0670if25ty.html?ptag=qqbrowser

　　《人体改造

　　计划》

　　2018年

　　导演: 铁鑫荣

　　模特: 陆卓瑜 / 陈斌冰

　　题材: 科幻

　　类型: 人体彩绘实验动画

　　片长: 2分钟

　　又名: Transforming human body

　　指导老师：舒霄/尹刚/程楠/周冠洋

　　作品梗概：社会快速发展，“低头族”“拜金族”“整容族”“亚健康族”等新兴人群也慢慢崛起，人们在解放自我的同时无形中也在伤害着自己，空虚麻木，拜金，投机取巧的情绪逐渐滋生。本片是一部以人体彩绘为形式，将人体器官与生活实物进行置换和互动的反讽刺的实验动画短片。表面很狂欢，实则需反思。

　　视频链接：https://v.qq.com/x/page/t0670dd72d1.html

　　《噩梦》

　　2018年

　　导演: 方雅婷

　　题材: 幻想

　　材料: flash

　　片长: 5分钟

　　指导老师：舒霄/尹刚/程楠/周冠洋

　　作品梗概：小男孩与家人一起乘着房车在美妙的大自然中旅行，美梦醒来，却发现原来自己身处冷漠压抑的城市地铁中，现实世界才是无尽的噩梦……

　　视频链接：https://v.qq.com/x/page/j06709mwlep.html?ptag=qqbrowser

　　《棒棒》2018年

　　导演: 戴宇航

　　题材: 民工

　　材料: 黑白线描

　　片长: 2分16秒

　　作品梗概：记录重庆棒棒工们艰辛的日常

　　创作理念：借此作品表达棒棒们劳动的力量和内心的质朴

　　视频链接：https://v.qq.com/x/page/d0670obspkq.html

　　《布朗克斯

　　动物园》

　　2018年

　　导演: 贾森/苏铁男

　　指导老师：舒霄/尹刚/程楠/周冠洋

　　作品梗概：通过对狒狒、熊猫、猩猩、狮子的街头生活的展现，表现嘻哈的丰富有趣，进而表达并且传达一种自由真实的态度。

　　视频链接：https://v.qq.com/x/page/y0670e6ucj8.html

　　《鱼子酱》

　　2018年

　　导演: 王正荣

　　题材：剧情片

　　材料：二维手绘

　　片长：3分45秒

　　又名：Caviar

　　指导老师：舒霄/尹刚/程楠/周冠洋

　　作品梗概：在一个头戴内裤为世界观的世界，两个把内裤穿在身上的鱼相爱了。鱼一号喜欢吃鱼子酱，正如杀人犯也有人爱一样，鱼二号仍然喜欢他，然而他们的关系却因为一个不经意的小事面临破裂.....

　　灵感来源：来源于我的猫，他很讨厌别人摸它，但是大家都不知道，在一次次挣扎后，他开始攻击接近他的人，脾气也开始变得古怪。抱他对我们来说是一件小事，但是却给猫带来了不好的影响，因此我开始反思，并作出了这个动画。

　　视频链接：https://v.qq.com/x/page/p0670n8599i.html

　　《狐嫁女》2018年

　　导演: 贺正泓

　　材料：二维手绘

　　片长: 2分31秒

　　指导老师：舒霄/尹刚/程楠/周冠洋

　　作品梗概：改编自《聊斋志异》中的篇目《狐嫁女》，讲述了一个胆大的书生夜入荒宅，夜半见到狐狸给女儿举办婚礼的故事。

　　视频链接：https://v.qq.com/x/page/l0670o8wm7q.html

　　《一夜障目》2018年

　　导演: 于田田

　　题材: 幽默剧情

　　类型: 二维无纸实验动画

　　片长: 3分33秒

　　指导老师：舒霄/尹刚/程楠/周冠洋

　　作品梗概：女孩雨真在火车上遇到了一些啼笑皆非的闹剧，最终发现或喜或悲，不过南柯一梦。

　　视频链接：https://v.qq.com/x/page/l0670fnhwrn.html

　　《寻》

　　2018年

　　导演: 姜梦娇

　　材料: 二维手绘

　　片长: 3分9秒

　　指导老师：舒霄/尹刚/程楠/周冠洋

　　作品梗概：动画改编于古诗词“蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处。”现在的爱情都是比较浓烈、速成的爱情，喜欢就会说出来，但是我更喜欢含蓄、朦胧、寻寻觅觅、缠绵不绝、令人久久难忘的中式爱情。这种寻觅在当下来说更美。以寻为主题、“铃”声为线索，寻找古人对爱的执着、真诚。

　　视频链接：https://v.qq.com/x/page/s0670lx4kw6.html

　　《若素》

　　2018年

　　导演: 杨云集

　　题材：城市/黑白

　　材料: 纸雕/二维手绘

　　片长：4分37秒

　　指导老师：舒霄/尹刚/程楠/周冠洋

　　作品梗概：主要讲述了当下年轻人对生活迷茫，工作压力较大，通过发现书籍中的美，重新对生活有了新的定义，整部影片利用了纸雕的多种形式来表现。

　　视频链接：https://v.qq.com/x/page/q06709vmlvw.html

　　《感官世界》2018年

　　导演: 张京然

　　指导老师：舒霄/尹刚/程楠/周冠洋

　　作品梗概：故事讲述的是主人公思考未来和探求未知的过程，随着画面的不断展开，情节也在不断地推翻与创新。作者用定格动画的呈现手法和特效进行融合，表现角色憧憬未来和前途迷茫的矛盾心理。

　　视频链接：https://v.qq.com/x/page/v0670hb2k4j.html

　　《无名路火》2018年

　　导演: 马德聪

　　材料: 二维手绘

　　片长: 3分7秒

　　指导老师：舒霄/尹刚/程楠/周冠洋

　　作品梗概：本片讲述了两个“路怒”司机在马路上的小矛盾不断层层升级继而一发不可收拾，而这一切被旁边的宣传文明交通的海报看在眼里却无可奈何，继续保持一贯的微笑。

　　视频链接：https://v.qq.com/x/page/f0670iz5eqd.html

　　《小狗

　　卢卡斯》

　　2018年

　　导演: 范一凡

　　指导老师：舒霄/尹刚/程楠/周冠洋

　　作品梗概：“希望借这部作品表达，无论动画的呈现形式如何变化，带给我们的快乐是不变的”.

　　视频链接：https://v.qq.com/x/page/y0670tindct.html

　　《池塘之下》2018年

　　导演: 黄斌

　　指导老师：舒霄/尹刚/程楠/周冠洋

　　作品梗概：你从自己的梦里醒来，可能还在另外一个梦里。

　　视频链接：https://v.qq.com/x/page/e0670oeamj6.html

　　《途》

　　2018年

　　导演: 王景坤

　　指导老师：舒霄/尹刚/程楠/周冠洋

　　作品梗概：以冒险为题材，轻松诙谐，风景如画的《途》。

　　视频链接：https://v.qq.com/x/page/k0670lnrc1v.html

　　《壳宇宙》

　　2018年

　　导演: 郑惠文

　　材料：二维手绘

　　片长：1分32秒

　　指导老师：舒霄/尹刚/程楠/周冠洋

　　作品梗概：我们从何处来？又将去往何方？人类生活在广袤宇宙的天穹之下，犹如身处壳核之中，无限散发的思维和欲望被有限的空间困住，未来的发展将如何变化？战争？改造？还是共生？

　　这是一部编织着人类未来和科技的幻想曲，是描绘作者对未来想象的实验性动画短片。本片采用多屏、几何等较抽象的视觉画面，试图围绕不可预见中的冲突历史向生态文明、改变人体到孕育方式等过渡的进程进行假象。

　　视频链接：https://v.qq.com/x/page/r0670aup2j1.html

　　《马头琴

　　传说》

　　2018年

　　导演:漆荣

　　材料：二三维结合

　　时长：2分32秒

　　指导老师：舒霄/尹刚/程楠/周冠洋

　　作品梗概：主要讲述了苏和在雪天相识小马，并逐渐与小马建立信任关系的故事。

　　视频链接：https://v.qq.com/x/page/e0670zc2wxz.html

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Tue, 26 May 2026 04:20:04 +0800

1、2020年9月1日天眼查企业商标查询频道为您提供变体精灵注册号47的商标注册信息，该商标是由南京变体精灵电子科技有限公司于20200901申请，属于20家具，查询。

里程碑夜！塞维利亚迎来里程碑，中超今夜刷纪录，引发热议，身体对抗强度拉满的简单介绍-ayx

Mon, 25 May 2026 11:35:13 +0800

1、新纪录的里程碑意义若贝尔在最后时刻加盟，2019年中超夏窗总投入将超过13亿欧元，再创历史新高这一纪录的诞生将结束中超自2016年后转会市场持续低迷的状态中超市场回暖的原因联赛盈利能力增强中超联赛公司收入显著增长，2018赛季收入达159亿元，为球队提供了更多资金支持关注度提升过去15年，中超场均。

全明星赛赛程吃紧，曼联冲刺阶段单刀错失，更衣室稳定，赛程密集仍需轮换的简单介绍-爱游戏体育官方网站

Sun, 24 May 2026 18:50:06 +0800

1、密集赛程下，此役林加德博格巴马夏尔等主力都获得了轮换机会，索尔斯克亚借足总杯机会进一步考察曼联替补球员的状态图2曼联在比赛中的实际阵型曼联中场由佩雷拉拖后，他的左侧是弗雷德，右侧为麦克托米奈锋线上，桑切斯主要在左路活动，马塔在右路，卢卡库则在中路如上图所示，阵地防守时，曼联迅速切换为4141阵型。

2、图加纳乔第二次单刀选择横传，错失良机五未来赛程与下课风险下一场比赛曼联将于12月31日凌晨客战诺丁汉森林若再输球，滕哈赫可能成为本赛季英超第三位下课的主帅前两位为波斯特科格鲁和埃梅里潜在影响连续不胜将进一步打击球员信心，加剧更衣室矛盾，甚至引发管理层干预六深层问题与。

包含阿贾克斯关键时刻遗憾出局，志在亚冠名次提升，引发热议，细节决定成败的词条-爱游戏体育官方网站

Sun, 24 May 2026 02:05:02 +0800

2019年12月12日阿贾克斯欧冠出局，最后关头双方还爆发小冲突是在优酷播出的体育高清视频，于20191212 185950上线视频内容简介阿贾克斯欧冠出局，最后关头双方还。

PP体育，全天24小时在线直播国内外各大体育赛事，英超直播，西甲，德甲直播，亚冠，欧冠，欧联杯，CBA，篮球直播，WWE直播，PP体育，PP视频一起玩出精彩荷甲第33轮，阿贾克斯第99分钟遭。

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Sat, 23 May 2026 09:20:13 +0800

　　引子

物理之学，大者有整套的理论体系如严谨缜密的经典力学和四面透风的量子力学，小者有单个的概念和物理量。包含多个物理量以及常数的公式居中，起着承上启下的作用。公式是一门高度压缩的语言，压缩意味着信息的丢失，关于一个公式的具体的、全部的涵义可能要放到大的物理和数学语境中才能理解透彻。物理学的公式是数学表达式，但承载着更多关于我们对物理问题认识方面的内容，包括物理图像、因果关系、量纲等等。物理公式的某个正确表达形式，其等价的数学表示却可能是荒唐的，这一点学物理者不可不知。即便是数学里的公式，其代表的图像或者关切的对象可能也是物理的、现实的。我们接触到的各种公式，其表述形式是由对数学、物理理解到不同层面的人给出的，或者是在不同的形态发展时期被固定下来的，因此难免有是否恰当的问题。恰当性是赫兹为事物之物理图像所设立的考察标准“permissibility，correctness，and appropriateness(允许、正确、恰当)”之最后一项[1]。如果以赫兹的批判眼光考察一些我们常见的公式，会发现它们多少有些不合适的地方，如果不是错误的话。不恰当可能意味着物理图像的歪曲。

这么说并非危言耸听。爱因斯坦的质能关系是二十世纪的符号。这个关系常见的解释为“The mass is equivalent to energy(质量和能量是等价的)”，这和爱因斯坦所说的“The inertial mass of matter is a measure of its energy content(物质的惯性质量是其能量内涵的测度)”，这两种理解就很不一样。这种对质能关系的理解歧义自然会反映到公式表述上。1989 年，Okun 教授就在一篇文章中考考读者[2]：关于质能关系，下面四个写法E =mc2 ， E =m0c2 ， E0 =mc2 ， E0 =m0c2 中哪个表达是物理上合理的？(图1)。首先，在现代物理体系内，惯性质量是基本粒子的特征(character)，Poincaré群表示的特征，因此是个内禀的参数，并不随运动速度改变。这就是说没有什么静止质量m0 和相对论质量m=m0/√(1 - v2 /c2)的区别。就一个有惯性质量m的粒子其能量内涵的测度来说，公式E0 =mc2 是合适的。对于运动粒子，其能量满足关系式E2 - p2c2 = m2c4 ，可得E = mc2/√(1 - v2 /c2)。当人们谈论质能转化过程中的质能关系时，类似ΔE = Δmc2 形式的表述可能才是合适的(详细内容见后)。

本文将分析几个重要的数学物理公式的表达式，包括牛顿积分公式、欧拉多面体公式、傅里叶级数表达式、狭义相对论速度相加公式和(质能转换语境下的)质能关系，等等。这些公式的常见表达为大家所熟知，但依然可能存在一些不恰当的地方，包括信息缺失、不能推广、容易造成歧义或者误导，以及缺乏可操作性，等等。

　　图1 关于质能关系的多种表达式

　　牛顿微积分

单变量积分公式常见被写成∫abf (x)dx =∫abdF =F(b) -F(a)的形式。笔者会把等式右侧念成F(b)减去F(a)，甚至会认为这个减号是积分公式内禀的内容，但这是对此公式所要表达之思想的曲解。这个公式正确的表达是∫abf (x)dx =∫abdF = ∫{a}-∪{ } b+F = F(b) + (-F(a))，即等式右侧是两项带方向的量之和。积分符号就是summation(求和、加法)一词的首字母。加法，才是积分的本意。此积分公式是说1-形式的函数f(x)在区间［a，b］上的积分等于其母函数F在两端点{a}，{b}上的积分，因为有方向的分别，所以结果为F(b) + (-F(a))的形式。只考虑值的计算，F(b) + (-F(a))就被写成了F(b) - F(a)。

上述积分公式是Stokes 定理∫Ωdω = ∮?Ωω 的特例。Stokes 定理表述如下，如果ω 是个(n－1)-形式，其紧致支撑(compact support)为Ω是一有取向的流形，且?Ω 为该支撑的边界，则有∫Ωdω = ∮?Ωω 。明面上的意思是，外微分dω 在域Ω上的积分等于ω 在域Ω之边界?Ω 上的积分。显然这里只涉及求和，而不涉及差。作为对照，巴尔莫线系的频率公式v ∝ 1/22 - 1/n2 中的减号才是真实的减号，由它引出了能级跃迁的概念。最初的Stokes定理联系面积分与线积分， ∫S ▽×F?dσ = ∮?SF?d? ，即矢量场F之旋量在面S上的积分等于该矢量场在面S 之边界?S上的线积分，这个分用于建立麦克斯韦方程组中法拉第感应定律和安培定律之积分形式和微分形式之间的联系。而高斯积分公式∫Ω▽ ?FdV = ∮?ΩF?dS 见于麦克斯韦方程组中两个高斯定理之积分形式和微分形式之间的联系。这四个公式的两两分组，正好一组是内积问题，一组是外积问题。

　　欧拉多面体公式

欧拉多面体公式V - E + F = 2 是诸多源自欧拉的伟大公式之一，曾被评为最优美公式排行榜次席，稍逊欧拉的另一公式eiπ + 1 = 0 。欧拉公式V - E + F = 2 是关于三维空间中凸多面体一个性质的表述。对于凸多面体，其顶点数V(vertex)，边数E(edge)，和面数F(face)满足关系V - E + F = 2 。图2 中是五种所谓的柏拉图多面体(Platonic solids)，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，容易验证它们都满足欧拉公式。

这个公式的表述形式有什么问题吗？有，而且问题很大！注意公式V - E + F = 2 中的重要信息，顶点、边和面都是几何对象，其维度分别是0，1 和2。这三个几何对象的个数V，E 和F，随着维度的增加，在公式中是以正负号交替的形式出现的。可是，我们在谈论的是三维凸多面体的性质，怎可忽略掉三维的结构呢？欧拉公式应该还包含三维几何对象的数目，且其符号应为负号。实际上，欧拉公式的正确写法应该是V - E + F - S = 1 ，其中S(solid)是体的数目。由于论及三维空间中的某个凸多面体有S ≡ 1 ，因此欧拉公式才被写成了V - E + F = 2 的样子。

把欧拉公式写成正确形式V - E + F - S = 1 的好处是，你可以正确理解它的真正含义。欧拉公式告诉我们，对于一个凸多面体，其各个维度上的几何对象的数目，按照从零维开始正负交替的形式赋予正负号，则其和总为1。注意，此时我们谈论的凸多面体就不局限于三维情形了，它可以推广到任意维的空间。比如，对于二维情形，二维凸多面体即凸多边形，其包含的几何对象为顶点、边和面，且面的数目F ≡ 1 ，因此其欧拉公式应为V - E + F = 1 ，进一步地可写为V - E = 0 ，即顶点数与边数同，这是一个我们容易验证的、平凡的结论。对于四维情形，四维凸多面体包含的几何对象包括顶点、边、面、体和四维polytope，且polytope 的数目P ≡ 1 ，因此其欧拉公式应为V - E + F - S + P = 1 ，进一步地可写为V - E + F - S = 0 。

重复一遍，我们熟知的欧拉公式V - E + F = 2 是关于三维凸多面体的一个几何性质的描述，其正确形式应该是V - E + F - S = 1 ，其中S ≡ 1 是体的个数。知道三维情形欧拉公式所代表的几何意义及其正确表述，容易将之推广到其它维度。

　　图2 五种规则多面体

　　傅里叶级数

傅里叶级数是法国人傅里叶(Jean-Baptiste Joseph Fourier， 1768—1830) 在研究热传导问题时引入的。一般教科书中，傅里叶级数被表示为 f(x) = a0/2 +Σn=1(ancosnx + bnsinnx) ，其中 f(x)是定义在[-π，π]上的函数，系数为an = 1/π ∫-ππf (x)cos(nx)dx ， bn = 1/π ∫-ππf (x)sin(nx)dx。许多人在初学时就注意到，此级数表达式中有a0 项但没有b0 项。当然了，即便有b0项， b0sin(0?x)也没有贡献。但问题是，到底有没有b0sin(0?x)这一项呢？一般教科书几乎懒得理会这个问题。

为了回答这个问题，我们来考察二阶微分算符d2/dx2 (在量子力学中，此算符d2/dx2 对应粒子的动能)的本征值问题，d2ψ(x)/dx2+n2ψ = 0 。此方程的形式解为cos(nx)，sin(nx) ，其中 x∈(x0，x0+2π) 。因为算符d2/dx2 是一个自伴随算符，其所有本征函数构成一个完备正交集，即是说对于任何定义区间(x0，x0+2π) 上的函数f(x)，有 f(x) =Σn = 0(ancosnx+bnsinnx) ，此处的a0= 1/2π ∫-ππf (x)cos(0?x)dx 。与此同时， b0是不确定的；且对于任意有限的b0， b0sin(0?x)这一项为零，这也是为什么一般介绍傅里叶级数时不包括这一项的原因。不过，笔者以为在适当的地方把它加入还是有意义的：sin(0?x)虽然恒为零，但它也代表一个完备函数空间的一个维度。再说了，即是对具体问题的计算没用，它也是讲解退化(简并)概念的好例子。

　　速度相加公式

狭义相对论中有速度相加公式，一般表示为v =(v1+ v2)/(1 + v1v2/c2)，且可被诠释为若某物体A在某观察者眼中速度为v1 ，若物体B相对于物体A的速度为v2 ，则物体B在该观察者眼中的速度为v =(v1+ v2)/(1 + v1v2/c2)。由此公式可推知，对于v1≤c ， v2≤c ，有v≤c ，即光速c 是运动速度的上限。

狭义相对论的速度相加公式是洛伦兹变换的结果，洛伦兹变换x′= (x - vt)/√(1 - v2/c2)， t′= (t - xv/c2)/√(1 - v2/c2)是使得麦克斯韦波动方程?2φ/?x2 = ?2φ/c2?t2 形式不变的变换，是由Woldemar Voigt 于1887 年率先提出来的。洛伦兹变换是关于时空的线性变换，变换中的参数为v(或者说是v/c)。以参数v1 表征的变换接着以v2 为参数的变换相当于一次性地以v =(v1+ v2)/(1 + v1v2/c2)为参数的变换。这个速度相加公式中各项的关系不清爽，仅从这个形式来看似乎损失了不少内容。相当多的修习者会死记这个速度相加公式，它背后的几何意义——相对论是关于时空几何的变换——却被忽略了。

回到问题的原点，即麦克斯韦波动方程?2φ/?x2 =?2φ/c2?t2 形式不变的变换问题，这等价于找到dx2 - (c dt)2不变的变换。先看看大家熟悉的使得x2 + y2 不变的变换。在二维平面几何中， x2 + y2 对应从原点到点(x，y)之矢量的模平方。坐标系转动θ 引起的变换x′=x cos θ + y sin θ ， y′= -x sinθ + y cosθ 满足要求，连续变换参数之间有关系 tan(θ1+ θ2) =tan θ1 tan θ2/(1 - tan θ1tan θ2)。相应地，欲使dx2 - (c dt)2 形式不变，考虑相对原点的情形其等价于考察x2 - c2t2 。显然，线性变换x′=x coshθ + ct sinhθ，(ct)′ = x sinhθ + ct coshθ 满足这个要求。变换参数θ 是个无量纲数，且tanhθ 取值在[-1，+ 1] 之间。记 tanhθ = v/c ，由关系 tanh(θ1+ θ2) =tanh θ1 tanh θ2/(1 + tanh θ1 tanh θ2)可得速度相加公式。这么做的好处是，可把狭义相对论的洛伦兹变换当成时空间距定义为dx2 - (c dt)2 的时空中的转动处理，变换的参数由转动角给出。熟悉了对具有不同距离定义的空间中的等距映射，可以很容易由狭义相对论进入广义相对论。此外，由tanh θ = v/c 和函数tanh θ 的性质，无需从相加公式就可推知光速c 是速度上限——光速c 是速度上限隐含在麦克斯韦波动方程中，它不是速度相加公式的推论。此外，这个相对论时空的转动与平常欧几里得空间中的转动从形式上可以放到一起理解， tanh θ = i tan(iθ)，而公式 tan(θ1+ θ2) =(tan θ1 + tan θ2)/(1 - tan θ1 tan θ2)可是我们初中时就学了的，它可以让我们容易地记住速度相加公式。

　　爱因斯坦质能公式

如果说欧拉公式eiπ + 1 = 0 占据所有公式排行榜第一位的话，公式E =mc2 应该出现在物理公式排行榜第一、二位的位置上。公式E =mc2 简直成了物理学的符号，至少是相对论的符号。

为了谈论公式E =mc2 之不甚恰当的地方，先谈论一下关于光速不变性表述的不恰当处。一般文献中都会说光速不变性指光相对任何参照系都是恒定值。这话有问题吗？这种表述看似没问题，实际上却缺乏可操作性。爱因斯坦1905 年的原文中是这样表述的：对来自任何发射体的光，观察者测到的光速是同样的一个值[3，4]。基于这个认识，爱因斯坦考察了原子同时发出两个方向相反、能量相同的光子的问题。假设原子与您作为观察者相对静止不动，写出此过程的能量守恒和动量守恒；再假设原子相对您以速度v 运动，再写出此情形下的能量守恒和动量守恒，两种情形下得到的公式相减可得E = Δmc2 。不过必须说明，其中E是两个光子的能量，而Δm 是原子在发射前后的质量差。也就是说，这个公式两侧的物理量各有所属。

质能关系两边的物理量各有所属是这个公式应用时的普遍状况。比如，关于正负电子对湮灭过程e+ + e- → 2γ ，有方程E =mc2 ，其中m是电子的惯性质量，因为湮灭故有Δm=m，而E (=511 MeV)是γ 光子的能量。在中子轰击235U原子核的反应中，, 质能关系的正确形式应为ΔE = Δmc2，其中ΔE 是方程右侧三项动能之和与左侧两项动能之和的差，而Δm是方程左侧两项质量之和与右侧三项质量之和的差。在谈论质量来源的语境中，对有质量粒子结合成拥有更大质量的粒子的情形，质能关系为E = Δmc2 ，其中E是下一层面粒子间的结合能，而Δm是上一层面粒子质量与下一层面粒子质量和之间的差值。在终极情形，无质量粒子结合成有质量粒子，无质量粒子间的结合能表现为有质量粒子的惯性质量m，此时有质能关系E =mc2 。也许此两处的能量写成Ecoh. 以表明其结合能的身份才是更合适的。

　　结语

本文讨论了一些人们熟知的数学物理公式，包括牛顿积分公式、欧拉多面体公式、傅里叶级数表达式、狭义相对论速度相加公式和质能关系等，其常见的表述形式所存在的不恰当处。这里的不恰当处，包括信息缺失、不能推广、容易造成歧义或者误导，以及缺乏可操作性等。但是，这些不恰当处可能只不过是笔者个人学习过程中遭遇的困惑与误解而已，不具有一般性，读者请自行斟酌、批判。倘若有读者朋友也曾遭遇过与我一样的困惑与误解，并经由此文多少得到一些澄清，那无疑会是一件令人欣慰的事。

　　参考文献

　　[1] Hertz H. The Principle of Mechanics. Dover Publications，INC.，1956

　　[2] Okun LB. The Concept of Mass. Physics Today，1989，42(6)：31

　　[3] Einstein A. Zur Elektrodynamik bewegter Körper. Annalen der Physik，1905，322(10)：891

　　[4] Einstein A. Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig? Annalen der Physik，1905，323(13)：639

本文选自《物理》2016年第8期

经授权转载自中国物理学会期刊网微信公众号

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